Los ecosistemas son una complicada red de interacciones entre múltiples organismos, cada uno buscando sobrevivir y reproducirse. Una de esas interacciones es la relación entre las presas y predadores. Todos hemos visto los documentales con leones cazando antílopes o cebras. Pero hay otros depredadores que lo hacen de forma aún más grotesca. Por ejemplo, los gusanos de la especie Spinochordodes tellinii se alojan en los saltamontes y grillos. Se comen sus órganos desde adentro y, antes de matarlos, segregan químicos en el cerebro del insecto para que se lance al agua y se ahogue. En el agua el gusano abandona el cadáver y procede a reproducirse cómodamente.
La forma en que se distribuyen las poblaciones de predadores y presas no ha escapado a la matemática. Curiosamente la explicación no vino de los biólogos, sino de dos físicos trabajando independientemente, uno en Estados Unidos y otro en Europa.
El primero, Alfred James Lotka, era un físico-químico viviendo en Nueva York desde 1902. A pesar de sus estudios formales en esas ciencias, desde 1907 se había dedicado a estudiar la dinámica de las poblaciones. Notó que había un paralelo entre algunas reacciones químicas que oscilan y la forma en que se comportan las poblaciones de herbívoros y las plantas de las que se alimentan. Cuando la cantidad de plantas es grande, los herbívoros aumentan en número también. Pero al hacer esto, se empiezan a comer todas las plantas, reduciendo su número. Menor comida entonces significará menos herbívoros. Y así se mantiene en repetición el ciclo.
En Italia, otro físico de nombre Vito Volterra encontraba una relación similar en los peces del Mediterráneo. Fue profesor de mecánica y después de participar en la Primera Guerra Mundial, se dedicó activamente a fundar instituciones de ciencia en Italia. En 1923 fue presidente de la Comisión Internacional para Estudios Científicos del Mediterráneo y en ese contexto conoció al zoólogo Umberto D’Ancona. Este había notado que durante la guerra, por el decaimiento de la pesca, se había aumentado la población de tiburones. Lo curioso es que no eran los tiburones los capturados sino los peces más pequeños que les servían como presa. Volterra entonces decidió explicar este fenómeno con un par de simples fórmulas.
Ambos, sin conocerse, llegaron la misma descripción matemática. Esa formulación, conocida hoy como el Modelo Lotka-Volterra o el Modelo Presa-Predador, explica cómo cambian las poblaciones de presas (x) y predadores (y) en un ecosistema debido a sus interacciones (xy):
dx/dt = ax + Bxy
dy/dt = -cy +Dxy
Las ecuaciones muestran claramente que cuando las presas aumentan, hay más comida para sus depredadores y por tanto, estos también crecen en número. Pero luego, al haber más depredadores, se comen más presas que luego bajan de número. Un tiempo después, los depredadores ya no encuentran suficiente comida y sus números comenzarán a descender. Con menos predadores, ahora las presas pueden aumentar en número nuevamente. Y así el ciclo se repite ad infinitum.
El modelo Lotka-Volterra tiene muchas limitantes. Es muy simple y no considera todos los factores reales. Sin embargo, fue el primero en ofrecer un solución matemáticamente razonable y sirve como punto de partida para modelos más complejos.
Las ecuaciones de Lotka-Volterra no se quedaron en la biología. En la década de 1960 fue aplicado por el economista Richard Goodwin para explicar los ciclos de crecimiento y decrecimiento del capitalismo, notando que cuando la productividad crece, los salarios reales decrecen porque eso destruye la reserva de trabajadores y su poder de negociación. Recientemente los sociólogos también han logrado aplicarlo a la relación que existe entre la presencia de policía y las pandillas, puesto que estos se comportan como presas y predadores en los territorios donde están presentes.
(La edición impresa puede no mostrar las fórmulas adecuadamente. Para ver su notación correcta y leer más, visite el sitio web: http://52ecuaciones.xyz).
Ingeniero Aeroespacial
salvadoreño, radicado en Holanda.
cornejo@52ecuaciones.xyz