En los primeros meses de 2014, un consorcio de universidades en el Reino Unido hizo un experimento psicológico que reveló que los matemáticos aprecian la belleza en ecuaciones de la misma forma que otros aprecian las grandes obras de arte. En el experimento, que conjuga una sutil escena cómica, unos 15 matemáticos fueron conectados a una máquina de resonancia magnética funcional (fMRI) mientras se les pedía que observaran una serie de ecuaciones. Cuando los sujetos observaban ecuaciones, algunas les incitaban actividad en la parte emocional del cerebro asociada con la experiencia de belleza visual y auditiva. Y entre todas, la fórmula que más comúnmente era consideraba bella, tanto en cuestionarios como en el resultado del fMRI, fue la Identidad de Euler:
e^(?i) + 1 = 0
Pero, ¿cómo se aprecia la estética en una expresión abstracta como esta? ¿Qué la hace tan bella? Es la cautivante combinación de su simplicidad con la variedad de ramas matemáticas que en ella están representadas.
Los logaritmos están representados con la constante base de logaritmos naturales e (2.7182...). La geometría, está en pi (3.1415...), siendo esta la razón de una circunferencia con su diámetro. Los números irracionales están representados por (e) y (pi). Los números complejos están representados por (i), que es la raíz cuadrada de -1. Y la teoría de grupos para los números algebraicos está representada por el 0 como su identidad aditiva y el 1 como su identidad multiplicativa. También puede ser representada con senos y cosenos, dándole una conexión adicional con la trigonometría.
La Identidad es producto de la genialidad de Leonard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos que el mundo ha conocido. Vivió en Suiza en el siglo XVIII y antes de su muerte, a los 76 años, había escrito más de 800 artículos sobre matemática pura y aplicada. Solo en el año 1775, compuso una obra semanal, cada una de entre 10 y 50 páginas (para un académico moderno, escribir 20 obras ya es excepcional). La colección de sus trabajos acumula unas 25,000 páginas en 79 volúmenes, cinco de los cuales son sus cartas intercambiando ideas con otros grandes pensadores de la época.
En sí, la ecuación es la culminación de una serie de descubrimientos en décadas anteriores. Para 1715, el inglés Brook Taylor había hecho extensos estudios con el cálculo diferencial. Se había percatado que podía aproximar algunas funciones utilizando sumas infinitas de sus derivadas. Gracias a ese avance, Euler pudo ver que las sumas infinitas del seno, coseno y un exponencial (multiplicaciones de e) eran bastante similares. Trabajándolas un poco más, fue como encontró su identidad.
Pero, ¿tiene alguna aplicación práctica? Más de lo que uno podría imaginarse. La identidad de Euler es útil para la ingeniería eléctrica, donde es aplicada regularmente para obtener el comportamiento de las corrientes alternas, como las que llegan a nuestros hogares. En el procesamiento digital de señales, de la misma forma, es útil para la descomposición en múltiples subseñales, que pueden ser, por ejemplo, los diferentes canales de la televisión por cable. Y en la física clásica, la retrogradación de los planetas puede también modelarse matemáticamente con variantes de esta identidad, haciendo más fáciles algunos cálculos de posicionamiento astronómico.
Desde una perspectiva meramente intuitiva, es difícil comprender qué es lo que la ecuación describe. Pero es útil porque matemáticamente está comprobada. “Es absolutamente paradójico”, dijo un renombrado matemático, “no podemos entenderla, y no sabemos qué significa, pero la hemos probado, y por lo tanto sabemos que es verdad”. Quizás por eso es que los matemáticos en muchas ocasiones deben apelar a una valoración estética de su trabajo. Hay expresiones que son tan abstractas, pero elegantes, simples y absolutas que no queda más que apreciarlas como una forma alternativa de arte y verdad. Karl Weierstrass lo describe de la siguiente manera: “Un matemático que no tiene algo de poeta, nunca será un matemático completo”.
(La edición impresa puede no mostrar las fórmulas adecuadamente. Para ver su notación correcta y leer mas, visite el sitio web: http://52ecuaciones.xyz).
Ingeniero Aeroespacial salvadoreño,
radicado en Holanda.
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